Covariância

Estatística Descritiva

A covariância quantifica a força e a direção da relação entre um par de variáveis x e y, segundo a fórmula:

$cov(x,y)=\frac{{\sum }_{i=1}^n(x_1-\bar{x})(y_i-\bar{y})}{(n-1)}$ Em que $\bar{x}$ e $\bar{y}$ são as respectivas médias e $n$ a quantidade de elementos.

Uma relação mais forte corresponde a um valor alto de covariância, que pode ser:

• Positiva (ambas as variáveis aumentam/diminuem)
• Negativa (uma variável aumenta/diminui enquanto a outra diminui/aumenta)

Uma relação fraca implica uma covariância próxima de 0

Exemplo:

import numpy as np
 
x = [
	 [0.1,0.3,0.4,0.8,0.9],
	 [3.2,2.4,2.4,0.1,5.5],
	 [10.,8.2,4.3,2.6,0.9]
]
 
print(np.cov(x))

A matriz de covariância é dada por:

[[ 0.115   0.0575 -1.2325]
 [ 0.0575  3.757  -0.8775]
 [-1.2325 -0.8775 14.525 ]]

Algumas conclusões da matriz de covariância:

• Há uma forte anti-correlação entre $x_0$ e $x_2$ ($C_{02}=-1.2325$), à medida que um aumento o outro diminui.
• Não há correlação forte entre $x_0$ e $x_1$ ($C_{01}=0.0575$), ou seja, não apresentam tendência forte em conjunto.

Problema: qual é a força dessa relação?

• Os valores de covariância são difíceis de interpretar, portanto, esses valores devem ser normalizados (coeficientes de correlação)